Von der mathematischen Eleganz der fundamentalen Naturgesetze

Eine Ode an die „unverhältnismäßige Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften“ (E. Wigner) – am Beispiel der Symmetrien in den fundamentalen Eichtheorien

1. Einleitung

Ich möchte hier eines der für mich faszinierendsten Rätsel der Philosophie der Mathematik vorstellen, nämlich die Frage nach dem Ursprung der „unverhältnismäßigen Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften“, wie ein berühmter Artikel des theoretischen Physikers Eugene Paul Wigner zu diesem Thema heißt.

In diesem Beitrag sollen dabei weniger die philosophischen Antwortversuche auf diese Frage im Mittelpunkt stehen, sondern das verwunderliche Phänomen selbst, um zu zeigen, wie tief dieser Frage heute reicht – und dass sie sich umso schärfer stellt, je erfolgreicher unsere Theorien von der Welt werden. Mein Ziel wäre erreicht, wenn dieser Text Leser zu eigenen Erklärungsversuchen anregt, eine sachliche Grundlage für die Einarbeitung in die philosophischen Positionen bietet, oder zumindest eine neue und interessante Perspektive auf die uns umgebende Welt vermittelt. Der Beitrag ist wie folgt aufgebaut:

1. Einleitung
1.1 Die vier fundamentalen Wechselwirkungen in der Natur
1.2 Die mathematischen Symmetrien der fundamentalen Eichtheorien
1.3 Die beiden Grundfragen
2. Symmetrieprinzipien in der Küche, oder: wie sucht Hausmann Klaus verschwundene Bohnen?
3. Die Grundgleichungen der Naturgesetze als mathematische Palindrom-Sätze
4. Die Grundidee der Lorentzsymmetrie in der speziellen Relativitätstheorie
5. Vielfältige Materiestruktur dank Lorentzsymmetrie der Dirac-Gleichung
5.1 Die Klein-Gordon-Gleichung
5.2 Die Dirac-Gleichung
5.3 Die Dirac-Gleichung sagt einen Teilchenspin voraus
6. Antimaterie
7. Lokale Eichsymmetrie gebiert Elektrodynamik
8. Ein philosophischer Ausblick

Anhang 1: Inspirierende Abschlusszitate
Anhang 2: Positionen in der Philosophie der Mathematik
Literatur
Fußnoten

Wir wollen hier die Rolle der Mathematik für die allgemeinste und grundlegendste aller Naturwissenschaften betrachten, nämlich für die Physik. Innerhalb der Physik wiederum geht es um die etablierten Theorien zur Beschreibung der bekannten vier fundamentalen Wechselwirkungen in der Natur. Damit sind vier grundlegendsten Weisen gemeint, wie die kleinsten Teilchen, aus denen die Welt besteht, aufeinander reagieren, wie sie Anziehungs- und Abstoßungskräfte aufeinander übertragen und wie sie somit letztlich auch die Struktur der Welt im Großen bestimmen. Wir wollen skizzieren, wie in den Grundgleichungen dieser Theorien aus rein mathematischen Eleganzforderungen auf der einen Seite die Physik der Antimaterie, des Teilchenspins und des Elektromagnetismus auf der anderen Seite geradezu heraussprudelt – allesamt Phänomene, über die gar keine Informationen in die Gleichungen hineingesteckt worden waren, und die teilweise experimentell überhaupt nicht bekannt waren.

Bei diesen Theorien handelt sich dabei um die erfolgreichsten, die der menschliche Geist je hervorgebracht hat, wenn man unter erfolgreich versteht, dass sie nicht nur sehr viele sehr unterschiedliche Phänomene erklären, präzise beschreiben und auf eine gemeinsame theoretische Basis stellen, sondern zugleich auch neue Phänomene vorhersagen. Dass diese oft viele Jahre oder Jahrzehnte später experimentell bestätigt werden konnten – oft in detailgetreuer Übereinstimmung mit den theoretischen Vorhersagen –, zeigt, dass diese Theorien nicht nur das Bekannte zusammenfassen, sondern auch in bislang verborgene Bereiche der Welt vordringen. Das bedeutet, dass diese Theorien beim Versuch der theoretischen Erfassung der Welt irgendwas in einem ganz grundsätzlichen Sinn „richtig“ machen.

1.1 Die vier fundamentalen Wechselwirkungen in der Natur

Die vier von diesen Theorien beschriebenen Wechselwirkungen, die fundamental für die gesamte uns bekannte Natur sind, sind heute bekannt als:

  • die Gravitation, die von den größten kosmischen Maßstäben herab bis hinunter zu unserer irdischen Erfahrungswelt die dominierende Kraft darstellt, beschrieben durch Einsteins allgemeine Relativitätstheorie (ART)
  • der Elektromagnetismus, der die Struktur der Welt von den planetarischen Maßstäben bis tief in die Atomhülle hinunter ordnet, beschrieben durch die Quantenelektrodynamik (QED)
  • die starke Wechselwirkung, die die Bestandteile des Atomkerns strukturiert, beschrieben durch die Quantenchromodynamik (QCD)
  • die schwache Wechselwirkung, die ebenfalls im Atomkern relevant ist und bei sehr hohen Materiedichten auch makroskopisch relevant wird (die mit der Quantenelektrodynamik vereint in der Theorie der elektroschwachen Wechselwirkung dem Glashow-Weinberg-Salam-Modell (GSW-Modell) beschrieben wird)

Hier geht es weiter zum Haupttext.


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